Question

（2012•黃浦區(qū)二模）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC邊上的中點(diǎn)，N是AB邊上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），M是OB邊上的點(diǎn)，且MN∥AO，延長CA與直線MN相交于點(diǎn)D，G點(diǎn)是AB延長線上的點(diǎn)，且BG=AN，連接MG，設(shè)AN=x，BM=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）連接CN，當(dāng)以DN為半徑的⊙D和以MG為半徑的⊙M外切時(shí)，求∠ACN的正切值；
（3）當(dāng)△ADN與△MBG相似時(shí)，求AN的長．

Answer 1

分析：（1）證△BMN∽△BOA，推出

MB

BO

=

BN

AB

，由勾股定理求出BC=3

2

，BO=

3 2

2

，根據(jù)AN=x，BM=y，代入求出即可；
（2）求出MG=MN，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠AND=∠G，∠DAN=∠MBG，根據(jù)AAS證△AND≌△BGM，推出DN=MG=MN，求出tan∠CAO=

CO

AC

=

1

2

，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CAO=∠ACN，即可求出答案；
（3）分為兩種情況：①若∠D=∠BMG時(shí)，過點(diǎn)G作GE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，求出tan∠BMG=

GE

ME

=

1

2

，根據(jù)∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，推出BM=BE，根據(jù)勾股定理得出y=

2

2

x，與（1）得出關(guān)系式組成方程組，即可求出x；②若∠D=∠G時(shí)，過點(diǎn)M作MF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，tan∠G=

1

2

，求出x=

2

2

y，同樣得出方程組，求出x即可．

解答：（1）解：∵M(jìn)N∥AO，
∴△BMN∽△BOA，
∴

MB

BO

=

BN

AB

，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=6，
∴由勾股定理得：BC=3

2

，
∵O是BC邊上的中點(diǎn)，
∴BO=

3 2

2

，
∵AN=x，BM=y，
∴

y

3 2 2

=

6-x

6

，
∴y=

2 (6-x)

4

（0＜x＜6）；

（2）解：
∵以DN為半徑的⊙D和以MG為半徑的⊙M外切，
∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM，
∴MG=MN，
∴∠MNG=∠G，
又∵∠MNG=∠AND，
∴∠AND=∠G，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠DAN=∠MBG，
又∵AN=BG，
∴△AND≌△BGM，
∴DN=MG=MN，
∵∠ACB=90°，
∴CN=DN，
∴∠ACN=∠D，
∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC邊上的中點(diǎn)，
∴tan∠CAO=

CO

AC

=

1

2

，
∵M(jìn)N∥AO，
∴∠CAO=∠D，
∴∠CAO=∠ACN，
∴tan∠ACN=

1

2

；

（3）解：∵∠DAN=∠MBG，當(dāng)△ADN與△MBG相似時(shí)，分為兩種情況：
①若∠D=∠BMG時(shí)，過點(diǎn)G作GE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，
tan∠BMG=

GE

ME

=

1

2

，
∵∠ACB=90°，GE⊥BC，
∴AC∥GE，
∴∠BGE=∠CAB=45°，
∵∠ABC=∠GBE=45°，
∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，
∴BE=EG，
∴BM=BE，
∴由勾股定理得：y=

2

2

x，
∵由（1）知：y=

2 (6-x)

4

，
∴解得：x=2；
②若∠D=∠G時(shí)，過點(diǎn)M作MF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，
∴tan∠G=

1

2

=

MF

GF

，
∴FG=2MF，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠MBF=∠CAB=45°，
∵∠MFB=90°，
∴∠FMB=∠MBF=45°，
∴BF=MF，
∵FG=2MF=BF+BG，
∴BF=BG，
∴x=

2

2

y，
由（1）知：y=

2 (6-x)

4

，
∴解得：x=

6

5

；
綜上所述，當(dāng)△ADN與△MBG相似時(shí)，AN的長為2或

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，分類討論思想的運(yùn)用．