Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c點P是BC上異于B、C的任一點，過P作AB的垂線與邊AB及AC的延長線分別交于R、Q．
（1）設PC=x，△PQC、△PBR的面積分別為S₁、S₂，試用x、a、b、c表示S₁+S₂；
（2）當點P在BC上移動時，問x取何值時，有S₁+S₂最小值？并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）由題中條件可得Rt△BPR∽△BAC，Rt△QPC∽Rt△BAC由對應線段成比例可得線段BR、PR、QC的值，進而可求其面積；
（2）若使其面積之和最小，則只需（a-x）²=0，即x=a即可．

解答：解：（1）由題中條件可得Rt△BPR∽△BAC，∴

BP

AB

=

BR

BC

=

PR

AC

，即

a-x

c

=

BR

a

=

PR

b

，BR=

a(a-x)

c

，PR=

b(a-x)

c

，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴

QC

BC

=

PC

AC

，即

QC

a

=

x

b

，QC=

ax

b

，
∴S₁+S₂=

1

2

PC•QC+

1

2

BR•PR=

1

2

（x•

ax

b

+

ab(a-x)2

c

）

（2）S₁+S₂=

1

2

PC•QC+

1

2

BR•PR=

1

2

（x•

ax

b

+

ab(a-x)2

c

）=

acx2+ab2(a-x)2

2bc

，
若使S₁+S₂取最小值，則有（a-x）²=0，即x=a，即點P運動到點B時，其值最小，
S₁+S₂=

acx2

2bc

=

a3

2b

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的求解，能夠在掌握的基礎上熟練掌握．