【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,BD是對角線,∠ADB=90°,E、F分別為邊AB、CD的中點.
(1)求證:四邊形DEBF是菱形;
(2)若BE=4,∠DEB=120°,點M為BF的中點,當點P在BD邊上運動時,則PF+PM的最小值為 ,并在圖上標出此時點P的位置.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,以及平行四邊形的對邊相等證明四邊形DEBF的四邊相等即可證得;
(2)連接EM,EM與BD的交點就是P,FF+PM的最小值就是EM的長,證明△BEF是等邊三角形,利用三角函數(shù)求解.
(1)∵平行四邊形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=90°.
∵△ABD中,∠ADB=90°,E時AB的中點,∴DE=AB=AE=BE.
同理,BF=DF.
∵平行四邊形ABCD中,AB=CD,∴DE=BE=BF=DF,∴四邊形DEBF是菱形;
(2)連接BF.
∵菱形DEBF中,∠DEB=120°,∴∠EFB=60°,∴△BEF是等邊三角形.
∵M是BF的中點,∴EM⊥BF.
則EM=BEsin60°=4×=2.
即PF+PM的最小值是2.
故答案為:2.
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【題目】在一條東西走向河的一側有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中AB=AC,由于某種原因,由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通,某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H(A、H、B在一條直線上),并新修一條路CH,測得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路?(即問:CH與AB是否垂直?)請通過計算加以說明;
(2)求原來的路線AC的長.
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【題目】如圖,在直角坐標系中,等腰直角△ABO的O點是坐標原點,A的坐標是(﹣4,0),直角頂點B在第二象限,等腰直角△BCD的C點在y軸上移動,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點D點隨之在一條直線上移動,這條直線的解析式是( )
A. y=﹣2x+1 B. y=﹣x+2 C. y=﹣3x﹣2 D. y=﹣x+2
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,BC⊥AB,連結OC,弦AD∥OC,直線CD交BA的延長線于點E.
(1)求證:直線CD是⊙O的切線;
(2)若DE=2BC,AD=5,求OC的值.
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【題目】閱讀下列材料:小明遇到這樣一個問題:已知:在△ABC中,AB,BC,AC三邊的長分別為,求△ABC的面積.小明是這樣解決問題的:如圖①所示,先畫一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1),再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處),從而借助網(wǎng)格就能計算出△ABC的面積.他把這種解決問題的方法稱為構圖法.請回答:
(1)圖1中△ABC的面積為 ;
參考小明解決問題的方法,完成下列問題:
(2)圖2是一個6×6的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1).
①利用構圖法在答卷的圖2中畫出三邊長分別為、2、的格點△DEF;
②計算△DEF的面積.
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【題目】已知:如圖等邊△ABC,D是AC的中點,E在BC的延長線上,且CE=CD,過D作DF⊥BE于點E.
(Ⅰ)求證:△BDE為等腰三角形;
(Ⅱ)請猜想FC與BF間的數(shù)量關系,并證明.
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【題目】已知,直線l1:y=2x+3與直線l2:y=kx+b的交點A在y軸上,直線l3:y=x與直線l1相交于點B與直線l2相交于點C(1,1).
(1)求直線l2的解析式和B點的坐標;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點E是AC的中點,線段AE以A為中心順時針旋轉,點E落在線段BE上的D處,線段CE以C為中心順時針旋轉,點E落在BE的延長線上的點F處,連接AF,CD.
(1)求證:四邊形ADCF是平行四邊形;
(2)當BD=CD時,探究線段AB,BC,BF三者之間的等量關系,并證明;
(3)在(2)的條件下,若DE=1,試求BC的值.
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