Question

如圖（1），在△ABC中∠ABC=45°，∠A＜90°，H是高AD與BE的交點，求證：BH=AC．
如圖（2），在△ABC中∠ABC=45°，∠A＞90°，H是高AD與BE所在直線的交點，則BH=AC還成立嗎？先畫出圖形，再證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）證明：如圖①，
∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．

（2）如圖②，HB=AC仍然成立．
證明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．
分析：（1）可通過全等三角形來證BH=AC，那么關(guān)鍵是證三角形ADC和BDH全等．已知的條件有一組直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再證得一組對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論．我們發(fā)現(xiàn)∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，這樣兩三角形全等的所有條件就都湊齊了，即可得出BH=AC的結(jié)論．
（2）同（1）的方法完全相同，也是通過證明三角形HBD和ADC全等來證得．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．證明線段相等的問題，可以通過全等三角形來證明，要注意利用此題中的圖形條件，例如同角或等角的余角相等．