Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，P，Q分別是邊AB，AC上的點．
（1）如圖1，若∠MPB=∠MQC=90°，證明：MP=MQ；
（2）如圖2，若∠MPB+∠MQC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由AB=AC，得出∠B=∠C，再根據(jù)AAS證明△MBP≌△MQC，即可得到MP=MQ；
（2）過M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，連接AM．先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質及角平分線的性質得出MF=ME，再根據(jù)AAS證明，△MEP≌△MFQ，即可得出MQ=MP．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△MBP與△MQC中，

∠B=∠C ∠MPB=∠MQC=90° MB=MC

，
∴△MBP≌△MQC，
∴MP=MQ．

（2）解：若∠MPB+∠MQC=180°，則（1）中的結論仍然成立．理由如下：
過M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，連接AM，
∵AB=AC，M是中點，
∴AM平分∠BAC，
又ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME，
∵∠MPB+∠MQC=180°，∠MQC+∠MQA=180°，
∴∠MPB=∠MQA，
在△MEP與△MFQ中，

∠MEP=∠MFQ=90° ∠MPE=∠MQF ME=MF

，
∴△MEP≌△MFQ，
∴MQ=MP．

點評：本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，補角的性質，難度適中，關鍵是正確作出輔助線．