【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=acm,AB=bcm(a>b>4,半徑為2cm的O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切,現(xiàn)有動點P從A點出發(fā),在矩形邊上沿著ABCD的方向勻速移動,當(dāng)點P到達D點時停止移動.O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移,移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回,當(dāng)O回到出發(fā)時的位置(即再次與AB相切時停止移動,已知點P與O同時開始移動,同時停止移動(即同時到達各自的終止位置

(1如圖,點P從ABCD,全程共移動了 cm(用含a、b的代數(shù)式表示;

(2如圖,已知點P從A點出發(fā),移動2s到達B點,繼續(xù)移動3s,到達BC的中點,若點P與O的移動速度相等,求在這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離;

(3如圖,已知a=20,b=10,是否存在如下情形:當(dāng)O到達O1的位置時(此時圓心O1在矩形對角線BD上,DP與O1恰好相切?請說明理由.

【答案】(1a+2b;(220cm;(3存在.

【解析】

試題分析:(1根據(jù)有理數(shù)的加法,可得答案;

(2根據(jù)圓O移動的距離與P點移動的距離相等,P點移動的速度相等,可得方程組,根據(jù)解方程組,可得a、b的值,根據(jù)速度與時間的關(guān)系,可得答案;

(3根據(jù)相同時間內(nèi)速度的比等于路程的比,可得的值,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得ADB=BDP,根據(jù)等腰三角形的判定,可得BP與DP的關(guān)系,根據(jù)勾股定理,可得DP的長,根據(jù)有理數(shù)的加法,可得P點移動的距離;根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得EO1的長,分類討論:當(dāng)O首次到達O1的位置時,當(dāng)O在返回途中到達O1位置時,根據(jù)的值,可得答案.

試題分析:(1如圖,點P從ABCD,全程共移動了a+2bcm(用含a、b的代數(shù)式表示;

(2圓心O移動的距離為2(a-4cm,

由題意,得

a+2b=2(a-4,

點P移動2秒到達B,即點P2s移動了bcm,點P繼續(xù)移動3s到達BC的中點,

即點P3秒移動了acm.

①②解得

點P移動的速度為與O移動速度相同,

∴⊙O移動的速度為

=4cm(cm/s

這5秒時間內(nèi)O移動的距離為5×4=20(cm

(3存在這種情況,

設(shè)點P移動速度為v1cm/s,O2移動的速度為v2cm/s,

由題意,得

如圖:

設(shè)直線OO1與AB交于E點,與CD交于F點,O1與AD相切于G點,

若PD與O1相切,切點為H,則O1G=O1H.

易得DO1G≌△DO1H,

∴∠ADB=BDP.

BCAD,

∴∠ADB=CBD

∴∠BDP=CBD,

BP=DP.

設(shè)BP=xcm,則DP=xcm,PC=(20-xcm,

在RtPCD中,由勾股定理,得

PC2+CD2=PD2,即(20-x2+102=x2,

解得x=

此時點P移動的距離為10+=(cm

EFAD,

∴△BEO1∽△BAD,

,即,

EO1=16cm,OO1=14cm.

當(dāng)O首次到達O1的位置時,O移動的距離為14cm,

此時點P與O移動的速度比為,

,

此時PD與O1不能相切;

當(dāng)O在返回途中到達O1位置時,O移動的距離為2(20-4-14=18cm,

此時點P與O移動的速度比為

此時PD與O1恰好相切.

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