Question

x，y都是自然數(shù)，求證：x²+y+1和y²+4x+3的值不能同時是完全平方．

Answer 1

解：設x²+y+1和y²+4x+3的值能同時是完全平方，
那么有x²+y+1=（x+1）²，y²+4x+3=（y+）²，
∴y=2x，4x=2y，
即y=2x，x=y，
又∵x、y是自然數(shù)，
∴y必是無理數(shù)，
∴與已知矛盾，
故x²+y+1和y²+4x+3的值不能同時是完全平方．
分析：先假設x²+y+1和y²+4x+3的值能同時是完全平方，那么就可寫成完全平方式，從而可求y=2x，x=y，
而xy是自然數(shù)，則必是無理數(shù)，那么就與已知相矛盾，故可得證．
點評：本題考查了完全平方式、無理數(shù)、自然數(shù)的定義．兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．