Question

（12分）如圖⑴所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)。我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：

⑴觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
⑵請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)，DC平分∠ADB, EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G₁、G₂、G₉，，若∠BDC=140⁰，∠BG₁C=77°，求∠A的度數(shù)。

Answer 1

（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）40°，∠DCE=90°，∠A為70°

試題分析：解：（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，
由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因?yàn)椤螦=50°，∠BXC=90°，所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
②由（1）的結(jié)論易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；而∠DCE=
（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；
③∠BG1C═（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=77°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴（140-x）+x=77，14-x+x=77，x=70∴∠A為70°．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大。需要學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行探究規(guī)律與歸納計(jì)算。在做這類(lèi)題型時(shí)，通常第一二問(wèn)較容易求證，而第三問(wèn)要結(jié)合前面2個(gè)證明總結(jié)出規(guī)律來(lái)進(jìn)行計(jì)算。