精英家教網如圖,已知AC切⊙O于A,AB為直徑,C為⊙O外一點,BC交⊙O于點D,AC=6,BD=5,連接AD.
(1)證明:△CAD∽△CBA;(2)求線段DC的長.
分析:(1)根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可得到△CAD∽△CBA;
(2)根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可求得CD的長.
解答:證明:(1)∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°.
又∵CA是切線,
∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°.
∴∠BAC=∠CDA=90°.
又∵∠BCA=∠DCA,
∴△CAD∽△CBA.

(2)由(1)知△CAD∽△CBA,
DC
CA
=
AC
CB

設DC=x,
x
6
=
6
x+5
,
即x2+5x-36=0,
解得x=4或x=-9(舍去),
∴CD的長為4.
點評:此題主要考查相似三角形的判定及切線的性質的理解及運用,同時也考查了因式分解法解一元二次方程.
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