Question

已知經過原點的拋物線y=-2x²+4x（如圖所示）與x的另一交點為A現將它向右平移m（m＞0）位，所得拋物線與x軸交于C、D點，與原拋物線交于點P
（1）求點P的坐標（可用含m式子表示）；
（2）設△PCD的面積為s，求s關于m關系式；
（3）過點P作x軸的平行線交原拋物線于點E，交平移后的拋物線于點F．請問是否存在m，使以點E、O、A、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）原拋物線：y=-2x²+4x=-2（x-1）²+2，
則平移后的拋物線為：y=-2（x-1-m）²+2，
由題得，
解得，
∴點P的坐標為（，）；

（2）拋物線：y=-2x²+4x=-2x（x-2）
∴拋物線與x軸的交點為O（0，0）A（2，0），
∴AO=2，
∵C、D兩點是拋物線y=-2x²+4x向右平移m（m＞0）個，
單位所得拋物線與x軸的交點∴CD=OA=2，
①當0＜m＜2，即點P在第一象限時，如圖1，作PH⊥x軸于H．
∵P的坐標為（，），
∴PH=，
∴S=CD•2•（-m²+2）=-m²+2，
②當m=2，即點P在x軸時，△PCD不存在，
③當m＞2即點P在第四象限時，如圖2，作PH⊥x軸于H．
∵P的坐標為（，），
∴PH=，
∴S=CD•HP=×2×=m²-2；

（3）如圖3，若以E、O、A、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則EF=OA=2
由軸對稱可知PE=PF，
∴PE=，
∵P（，），
∴點E的坐標為（，），
把點E代入拋物線解析式得：，
解得：m=1．
分析：（1）首先將拋物線表示出頂點式的形式，再進行平移，左加右減，即可得出答案；
（2）求出拋物線與x軸的交點坐標，根據當0＜m＜2，當m=2，即點P在x軸時，當m＞2即點P在第四象限時，分別得出即可；
（3）根據E、O、A、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則EF=OA=2由軸對稱可知PE=PF，表示出E點的坐標，再把點E代入拋物線解析式得出即可．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的頂點坐標求法以及平行四邊形的判定，題目綜合性較強，從題目問題開始逐步分析，是解決問題的關鍵．