Question

如右圖，∠POQ=20°，A為OQ上的點，B為OP上的一點，且OA=1，OB=2，在OB上取點A₁，在AQ上取點A₂，設(shè)l=AA₁+A₁A₂+A₂B，求l的最小值．

Answer 1

【答案】分析：作出OQ關(guān)于OP的對稱射線OM，在射線OM上找出A關(guān)于OP的對稱點A′，根據(jù)對稱性質(zhì)可得AA₁=A′A₁，把要求的AA₁+A₁A₂轉(zhuǎn)化為A′A₁+A₁A₂，然后根據(jù)“兩點之間線段最短”，只有當A′，A₁，A₂在一條直線上時，滿足AA₁+A₁A₂最小值等于A′A₂；找出射線OM關(guān)于OQ的對稱射線，在射線ON上找出A′關(guān)于OQ的對稱點A″，同理只有當A″，A₂，B在一條直線上時，滿足A′A₂+A₂B最小值等于A″B，然后根據(jù)對稱性質(zhì)求出OA″的長及∠BOA″，以及OB，判斷可得三角形OBA″為直角三角形，由OB和OA″的長，根據(jù)勾股定理求出A″B的長，即為l的最小值．
解答：解：作OQ關(guān)于OP的對稱射線OM，A關(guān)于OP的對稱點A′，
∴AA₁=A′A₁，
則AA₁+A₁A₂=A′A₁+A₁A₂，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，
當A′，A₁，A₂在一條直線時，AA₁+A₁A₂最小=A′A₂，
同理，作OM關(guān)于OQ的對稱射線ON，A′關(guān)于OQ的對稱點A″，
∴A′A₂=A″A₂，
則A₂B=A″A₂+A₂B，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，
當A″，A₂，B在一條直線上時，A′A₂+A₂B最小=A″B，
由對稱可知：∠POQ=∠POM=20°，即∠MOQ=40°，
再由對稱可知：∠NOQ=∠MOQ=40°，且OA=OA′=OA″=1，
在△OA″B，∠A″OB=∠POQ+∠NOQ=20°+40°=60°，
取OB的中點E，連接A″E，如圖所示：
則OA″=OE=BE=OB=1，
又∠A″OB=60°，
∴△OA″E為等邊三角形，
∴∠OEA″=60°，A″E=1，即A″E=BE，
∴∠BA″E=∠B，
又∠OEA″是△A″EB的外角，
∴∠OEA″=∠BA″E+∠B=2∠B=60°，
∴∠B=30°，
∴∠OA″B=180°-60°-30°=90°，
∴△OA″B為直角三角形，
A″B==，
則l=AA₁+A₁A₂+A₂B的最小值為．
點評：此題考查了利用軸對稱求最短路線的問題，涉及的知識有對稱線段的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，線段公理等，利用了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想，此類題往往利用的是“情理結(jié)合法”，即由實情聯(lián)想原理，再由原理解決問題．能正確畫圖和根據(jù)畫圖條件進行推理是解本題的關(guān)鍵．