Question

如圖，A（0，2），M（4，3），N（5，6），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位長度的速度向上移動(dòng)，且過點(diǎn)P的直線L：y=-x+b也隨之平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，若點(diǎn)M，N位于直線L的異側(cè)，則t的取值范圍是

 

；當(dāng)t=

 

時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：幾何變換

分析：先分別計(jì)算出直線y=-x+b過M點(diǎn)和N點(diǎn)的所應(yīng)的b的值，則可得到點(diǎn)P從點(diǎn)A開始移動(dòng)的距離，從而可確定點(diǎn)M，N位于直線L的異側(cè)，則可得到t的取值范圍；如圖，當(dāng)M點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)C落在x軸上，l與x軸交于D，連接DM，利用直線y=-x+b與x軸的夾角為45°，利用對(duì)稱的性質(zhì)得DC=DM，所以∠MDC=90°，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），再計(jì)算直線過D（4，0）時(shí)的b的值，得到點(diǎn)P從點(diǎn)A開始移動(dòng)的距離，從而求出移動(dòng)的時(shí)間；同理可得，M點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)C落在y軸上時(shí)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的時(shí)間t．

解答：解：把M（4，3）代入y=-x+b得-4+b=3，解得b=7，此時(shí)平移后的直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（7，0）；
把N（5，6）代入y=-x+b得-5+b=6，解得b=11，此時(shí)平移后的直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（11，0）；
因?yàn)?-2=5，11-2=9，
所以點(diǎn)M，N位于直線L的異側(cè)，t的取值范圍是為5＜t＜9；
如圖，M點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)C落在x軸上，l與x軸交于D，連接DM，
∵直線y=-x+b與x軸的夾角為45°，
而DC=DM，
∴∠MDC=90°，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
把D（4，0）代入y=-x+b得-4+b=0，解得b=4，
而4-2=0，
∴t=2時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在x軸上；
同理可得，M點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)C落在y軸上時(shí)，直線y=-x+b過點(diǎn)（4，-1），
把（4，-1）代入y=-x+b得-4+b=-1，解得b=3，
而3-2=1，
∴t=1時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上，
∴當(dāng)t=1或2時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．
故答案為5＜t＜9；1或2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與幾何變換：直線y=kx+b沿y軸向上平移m個(gè)單位所得直線解析式為y=kx+b+m，沿y軸向下平移m個(gè)單位所得直線解析式為y=kx+b-m．