Question

如圖：在正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD邊上，且DF=3FC，連接AE、AF、EF，
（1）求證△ECF∽△ABE；
（2）圖中是否存在與∠EAF相等的角？若存在，請(qǐng)寫出并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，再根據(jù)已知條件得出，能證明△ECF∽△ABE；
（2）先判斷圖中與∠EAF相等的角，再進(jìn)行證明，根據(jù)△ECF∽△ABE，則∠FEC=∠BAE，且，再證明△AEF∽△ABE，則∠EAF=∠BAE，∠FEC=∠EAF．
解答：證明：（1）由正方形ABCD得AB=BC=CD，∠B=∠C=90°（2分）
∵E為BC中點(diǎn)，DF=3FC，
∴，，
∴（2分）
在△ECF和△ABE中，
∵且∠B=∠C
∴△ECF∽△ABE（1分）．

（2）圖中存在與∠EAF相等的角，分別是∠BAE和∠FEC（2分）．
∵△ECF∽△ABE，∴∠FEC=∠BAE，且（2分）．
在△ABE中，∵∠B=90°，∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，∠AEF=∠B（1分）
又∵，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE同理∠FEC=∠EAF（2分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是綜合題難度偏大．