Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線與x軸交于另一點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點P，使？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）點M為直線下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當的面積最大時，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點P，坐標為（2，-3）；（3）

【解析】

（1）分別求出A、B坐標，然后將A、B、C三點坐標代入拋物線，即可得出其解析式；

（2）首先假設存在點P，然后根據(jù)面積相等構(gòu)建等式，看是否有解，即可得解；

（3）首先設點M坐標，根據(jù)面積最大構(gòu)建二次函數(shù)求最大值得出點M坐標，然后設點N坐標，再次構(gòu)建二次函數(shù)求最小值，即可得解．

（1）由題意，令，即

∴A的坐標為（4,0）

令，即

∴B的坐標為（0，-2）

將A、B、C三點坐標代入拋物線，得

解得

∴拋物線解析式為：；

（2）假設存在該點P，設其坐標為（a，）

∵A的坐標為（4,0），B的坐標為（0，-2）

∴OA=4，OB=2，，

∴點P到直線的距離為

∵

∴

∴

∴存在這樣的點P，點P的坐標為（2，-3）

（3）設M坐標為

當的面積最大時，即

的面積最大為4，

∴M坐標為

設N的坐標為

當時，有最小值，

其值為.