Question

（2012•臺(tái)江區(qū)模擬）如圖，拋物線y=-

12

25

（x²+2x-24）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)H是拋物線的頂點(diǎn)，以AB為直徑作圓G交拋物線對(duì)稱軸于E、F兩點(diǎn)．
（1）求頂點(diǎn)H的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸（x軸上方）上的一點(diǎn)，且滿足⊙P與直線AH和⊙G都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）過(guò)點(diǎn)E作⊙G的切線L．點(diǎn)M、N分別是y軸與直線L上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形GMNA的周長(zhǎng)是否有最小值？若有，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式進(jìn)行配方，即可得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由（1）的拋物線解析式不難求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，而A、B關(guān)于點(diǎn)G對(duì)稱，由此求得G點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出AG、GH、AH的長(zhǎng)；然后分兩種情況討論：
①⊙P與⊙G內(nèi)切，且與直線AH相切時(shí)；設(shè)⊙P與AH的切點(diǎn)為C，連接CP，由相似三角形：△HPC和△HAG，列出關(guān)于HP、CP、AG、AH的比例關(guān)系式，由此求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②⊙P與⊙G外切，且與直線AH相切時(shí)；設(shè)⊙P與AH的切點(diǎn)為D，連接DP，后面的思路和解法同①．
（3）在四邊形GMNA中，只有GA邊是確定的，另外的三邊長(zhǎng)都不明確，所以在求四邊形的最小周長(zhǎng)時(shí)需要做兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)：①作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′，②作點(diǎn)G關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G′；連接A′G′，那么該直線與直線L和y軸的交點(diǎn)即為符合條件的N、M點(diǎn)．

解答：解：（1）∵y=-

12

25

（x²+2x-24）=-

12

25

（x+1）²+12，
∴頂點(diǎn)H（-1，12）．

（2）由y=-

12

25

（x²+2x-24）=-

12

25

（x+6）（x-4）知：A（-6，0）、B（4，0），則：G（-1，0）、E（-1，5）；
在Rt△HAG中，AG=GE=5，HG=12，則：AH=

AG2+GH2

=13；
設(shè)PE=x，分兩種情況討論：
①⊙P與⊙G內(nèi)切，且與直線AH相切；
HE=HG-GE=12-5=7，HP1=7+x；
設(shè)⊙P與AH的切點(diǎn)為C，連接CP，如右圖，則有：Rt△HCP₁∽R(shí)t△HGA，
∴

CP1

AG

=

HP1

AH

?

x

5

=

7+x

13

，解得：x=

35

8

∴GP₁=GE-EP₁=5-x=

5

8

，P₁（-1，

5

8

）；
②⊙P與⊙G外切，且與直線AH相切；
設(shè)⊙P與AH的切點(diǎn)為D，同①可知：

DP2

AG

=

HP2

AH

?

x

5

=

7-x

13

，解得：x=

35

18

∴GP₂=GE+EP₂=5+x=

125

18

，P₂（-1，

125

18

）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，

5

8

）或（-1，

125

18

）．

（3）由題意知，直線L：y=5；
作A（-6，0）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′，則：A′（-6，10）；
作G（-1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G′，則：G′（1，0）；
連接A′G′，則直線A′G′與y軸、直線L的交點(diǎn)為符合條件的M、N點(diǎn)；
設(shè)直線A′G′的解析式為：y=kx+b，代入A′、G′兩點(diǎn)的坐標(biāo)，有：

-6k+b=10 k+b=0

，解得

k=- 10 7 b= 10 7

∴直線A′G′：y=-

10

7

x+

10

7

；
則：M（0，

10

7

）、N（-

5

2

，5）．
綜上，四邊形GMNA的周長(zhǎng)有最小值，此時(shí)M（0，

10

7

）、N（-

5

2

，5）．

點(diǎn)評(píng)：這道二次函數(shù)綜合題綜合考查了圓與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)；（2）題中，⊙P、⊙G的內(nèi)、外切關(guān)系要分開(kāi)進(jìn)行討論，連接切點(diǎn)作出相似三角形也是重要的解題思路；最后一題中，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間線段最短作出兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)是解答題目的關(guān)鍵所在．