Question

已知如圖，CD是⊙O的弦，OA垂直CD交⊙O于A，交CD于F，G為⊙O上一點，過G做⊙O的切線，交CD延長線于E．連AG交CD于K
（1）求證：KE=GE；
（2）若AC∥EG，

DK

CK

=

3

5

，AK=2

10

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OG，由A為

DC

的中點，EG切⊙O于G，可得OA⊥CD，OG⊥FG，即可證得∠EKG=∠EGK，繼而可得KE=GE；
（2）首先連接OC，易得AC=KC，設DK=3x，CK=5x，則AC=5x，CD=DK+CK=8x，可得CF=DF=4x，F(xiàn)K=DF-DK=x，即可得AF=3x，然后由在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，得到方程（3x）²+x²=（2

10

）²，即可求得x的值，再設⊙O的半徑為y，由在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，可得方程y²=64+（y-6）²，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接OG，
∵OA垂直CD交⊙O于A，
∴A為

AC

的中點，EG切⊙O于G，
∴OA⊥CD，OG⊥FG，
∴∠A+∠AKC=90°，∠AGO+∠EGK=90°，
∵OA=OC，∠AKC=∠EKG，
∴∠A=∠AGO，∠A+∠EKG=90°，
∴∠EKG=∠EGK，
∴KE=GE；

（2）解：連接OC，
∵AC∥EG，
∴∠CAK=∠EGK，
∵∠AKC=∠EKG，∠EKG=∠EGK，
∴∠CAK=∠CKA，
∴AC=KC，
∵

DK

CK

=

3

5

，
設DK=3x，CK=5x，則AC=5x，CD=DK+CK=8x，
∴CF=DF=4x，F(xiàn)K=DF-DK=x，
在Rt△ACF中，AF

AC2-CF2

=3x，
在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，
∴（3x）²+x²=（2

10

）²，
解得：x=2，
∴AF=3x=6，CF=4x=8，
設⊙O的半徑為y，
則OF=y-6，
在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，
∴y²=64+（y-6）²，
解得：y=

25

3

，
∴⊙O的半徑為：

25

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用．