Question

2．已知函數(shù)f（x）=x（$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由x²-1≠0，可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由x²-1≠0，可得x≠±1，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠±1}；
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
f（x）=x（$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$）=x•$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$．
∴f（-x）=-x•$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)奇偶性的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用奇函數(shù)的定義是關(guān)鍵．