Question

如圖，已知D、E、F分別是銳角△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且AD、BE、CF相交于點(diǎn)P，AP=BP=CP=6，設(shè)PD=x，PE=y，PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的大�。�

Answer 1

分析：先求證

S△PBC

S△ABC

=

x

x+6

，同理：

S△PAC

S△ABC

=

y

y+6

，

S△PAB

S△ABC

=

z

z+6

，再利用S_△ABC=S_△PBC+S_△PCA+S_△PAB，將分式化簡(jiǎn)，再將xy+yz+zx=28代入即可．

解答：解：如圖：∵S_△PBC=

1

2

PM•BC，S_△ABC=

1

2

AN•BC，
∴

S△PBC

S△ABC

=

PM

AN

=

PD

AD

=

x

x+6

，
同理：

S△PAC

S△ABC

=

y

y+6

，

S△PAB

S△ABC

=

z

z+6

，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PCA+S_△PAB，
∴

x

x+6

+

y

y+6

+

z

z+6

=1．
即1-

6

x+6

+1-

6

y+6

+1-

6

z+6

=1，
∴

3

x+6

+

3

y+6

+

3

z+6

=1，
∴3（yz+zx+xy）+36（x+y+z）+324
=xyz+6（xy+yz+zx）+36（x+y+z）+216，
∴xy+yz+zx=28．
∴xyz=108-3（xy+yz+zx）=24．
答：xyz的大小為：24．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形面積計(jì)算的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證

S△PBC

S△ABC

=

x

x+6

，

S△PAC

S△ABC

=

y

y+6

，

S△PAB

S△ABC

=

z

z+6

．此題有一定的拔高難度，屬于難題．