如圖,二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)M在第一象限,∠ABC=30°.
(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)設(shè)直線y=
3
x-9與y軸的交點(diǎn)是D,在線段BC上任取一點(diǎn)E(不與B、C重合),經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的圓交直線BD于點(diǎn)F,
①試判斷△AEF的形狀,并說明理由;
②設(shè)BF=m,m的取值范圍是多少?(直接寫出,無需過程).
分析:(1)利用圖象以及得出∠ABC=30°,得出B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式即可;
(2)①結(jié)合已知畫出圖象,進(jìn)而利用圓周角定理以及銳角三角函數(shù)知識求出即可;
②利用最短時(shí)AF⊥BF,以及最長時(shí)BF為直徑,可據(jù)圖分析求出取值范圍即可.
解答:解:(1)∵圖象與y軸交于點(diǎn)C(0,3),
∴CO=3,即q=3,
∵∠ABC=30°,
∴tan30°=
CO
OB

∴BO=3
3

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為:(3
3
,0)
代入解析式得:0=-27+3
3
p+3,
解得:p=
8
3
3
,
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為:y=-x2+
8
3
3
x+3;
∴0=-x2+
8
3
3
x+3;
解得:x1=3
3
,x2=-
3
3
;
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為:(-
3
3
,0);

(2)①△AEF是直角三角形,
理由:∵直線y=
3
x-9與y軸的交點(diǎn)是D,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,-9),
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為:(3
3
,0),C(0,3),
∴∠ABC=30°,∠ABD=60°,
由圓周角定理可得出,∠AFE=∠ABC=30°,∠AEF=∠ABD=60°,
∴∠EAF=90°,
∴△AEF是直角三角形,
②∵最短時(shí)AF⊥BF,最長時(shí)BF為直徑,
∴BF為直徑,則2AB=BF=
20
3
3
,
∵最短時(shí)AF⊥BF時(shí),
∵AF⊥AE,BF⊥BC,
∴AE∥BF,AF∥BC,
∴AE=BF,E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),BF最短,AB為直徑,
∴∠ACO=30°,
∴AE=2AO,
∴BF=AE=2AO=
2
3
3
,
∴m的取值范圍是:
2
3
3
<m<
20
3
3
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及垂徑定理和圓周角定理,根據(jù)已知得出∠AFE=∠ABC=30°,∠AEF=∠ABD=60°是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0,
7
9
3
),且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使PA+PD最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△QAB與△ABC相似?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,且經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B(6,0).
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)如果一次函數(shù)圖象與y相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在線段AC上,與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點(diǎn)E,∠CDO=∠OED,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)A(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求這個(gè)二次函數(shù)解析式.

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某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程,如圖的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與時(shí)間t(月)之間的關(guān)系(即前t個(gè)月的利潤總和s與t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)求累積利潤s(萬元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)30萬元;
(3)從第幾個(gè)月起公司開始盈利?該月公司所獲利潤是多少萬元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)圖象回答:(1)b
0(填“>”、“<”、“=”);
(2)當(dāng)x滿足
x<-4或x>2
x<-4或x>2
時(shí),ax2+bx+c>0;
(3)當(dāng)x滿足
x<-1
x<-1
時(shí),ax2+bx+c的值隨x增大而減。

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