Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點M的坐標是（1，3），且與y軸相交于點C（0，2），P（1，1）是拋物線對稱軸上的一點．請回答下列問題：
（1）寫出拋物線的解析式______；
（2）點Q是拋物線上的一點，且使△CPQ的面積等于△CMP的面積，則所有滿足條件的點Q的個數(shù)為：______．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，
把C（0，2）代入得，a+3=2，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+3=-x²+2x+2．
故答案為y=-x²+2x+2．

（2）∵△CPQ的面積等于△CMP的面積，
∴點Q到CP的距離等于點M到CP的距離，即點Q在與PC平行且到CP的距離等于點M到CP的距離的兩條平行直線上，如圖，
設直線PC的解析式為y=kx+b，
把C（0，2），P（1，1）代入得，k+2=1，b=2，解得k=-1，
∴直線PC的解析式為y=-x+2，
又∵MQ₁∥PC，
∴設直線MQ₁的解析式為y=-x+b，
把M（1，3）代入得b=4，
∴直線MQ₁的解析式為y=-x+4，
聯(lián)立，解得，，
∴Q₁的坐標為（2，2）；
直線MQ₁y=-x+4與y軸的交點N的坐標為（0，4），所以把直線MQ₁向下平移4個單位后與PC的距離不變，此時平移后的直線的解析式為y=-x，設它與拋物線的交
點為Q₂，Q₃，如圖，
聯(lián)立，解得，，
∴Q₂的坐標為（，），Q₃的坐標為（，）；
所以滿足條件的點Q的個數(shù)有三個．
故答案為y=-x²+2x+2；3．
分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，然后把C（0，2）代入計算出a的值即可；
（2）通過△CPQ的面積等于△CMP的面積可得點Q在與PC平行且到CP的距離等于點M到CP的距離的兩條平行直線上，先利用待定系數(shù)法確定直線PC的解析式為y=-x+2，
根據(jù)兩直線平行則k相等得到直線MQ₁的解析式為y=-x+4，把M（1，3）代入確定直線MQ₁的解析式為y=-x+4，然后把y=-x²+2x+2和y=-x+4聯(lián)立起來解方程組即可得到它們交點的坐標，即得到Q₁的坐標；再直線MQ₁向下平移4個單位后與PC的距離不變，此時平移后的直線的解析式為y=-x，利用同樣的方法可求出直線y=-x與拋物線的交點坐標即Q₂的坐標，Q₃的坐標．
點評：本題考查了解二次函數(shù)綜合題的方法：先合理設解析式，再利用待定系數(shù)法確定解析式，然后利用二次函數(shù)的圖象和性質解決其他問題．也考查了兩直線平行k相等的性質以及把求兩函數(shù)圖象的交點坐標轉化為解方程組的問題．