Question

若x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x₁，x₂和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=，把它們稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，請(qǐng)利用此定理解答一下問題：
已知x₁，x₂是一員二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)你說明理由；
（2）若|x₁-x₂|=，求m的值和此時(shí)方程的兩根．

Answer 1

解：（1）存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m-3≠0且△=4m²-4（m-3）•m≥0，
∴m的取值范圍為m≥0且m≠3，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴=4-，
∴m=12；

（2）∵|x₁-x₂|=，
∴（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴（-）²-4×=3，解得m₁=1，m₂=9，
當(dāng)m=1時(shí)，原方程變形為2x²-2x-1=0，解得x₁=，x₂=；
當(dāng)m=9時(shí)，原方程變形為2x²+6x+3=0，解得x₁=，x₂=．
分析：（1）先根據(jù)根的判別式得到m的取值范圍為m≥0且m≠3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，然后利用-x₁+x₁x₂=4+x₂得=4-，再解關(guān)于m的方程即可；
（2）先利用完全平方公式變形得到（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，再把x₁+x₂=-，x₁•x₂=代入得到（-）²-4×=3，解得m₁=1，m₂=9，
然后分別把m的值代入原方程，并且利用公式法解方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式．