Question

如圖，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD∥BC，E是AB的中點，BE=AD．
（1）試說明：CE⊥BD；
（2）線段AC與ED之間存在什么關系？為什么？
（3）判斷△BDC的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵等腰直角△ABC，∠ABC=90°
∴AB=BC，∠ACB=∠CAB=45°
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°∴∠DAB=90°
∴∠DAB=∠ABC=90°
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠ABD=∠BCE，
∵∠ABC=90°
∴∠ABD+∠CBD=90°
∴∠BCE+∠CBD=90°
∵△BCF中，∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°
∴∠BFC=90°，
∴CE⊥BD．

（2）AC垂直平分DE，
∵E是AB中點，
∴AE=BE，
∵BE=AD，
∴AD=AE，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠CAE=45°，
∵AD=AE，∠DAC=∠CAE，
∴AC垂直平分DE．
（3）△BDC是等腰三角形，
∵AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∵△ABD≌△BCE，
∴BD=CE，
∴BD=CD，
∴△BCD是等腰三角形．
分析：（1）利用全等的性質∠ABD=∠BCE，然后利用等價變換的知識可得出∠BFC=90°，從而即可得出答案．
（2）根據AC垂直平分DE，E是AB中點及AD∥BC可得出AC與ED之間存在的關系．
（3）根據等腰三角形及中垂線的性質即可作出判斷．
點評：本題考查等腰三角形的性質及中垂線的性質，難度較大，注意熟練掌握一些基本性質，這是解答此類綜合題得基礎．