Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（），B（），C（）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求點D的坐標；

（3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵該拋物線過點C（0，2），

∴可設該拋物線的解析式為．

將A（-2，0），B（-，0）代入，得，

解得：

∴此拋物線的解析式為；……………………………………………4分

（2）由題意可求得直線AC的解析式為．………………………………………5分

如圖，設D點的橫坐標為t（-2＜t＜0），則D點的縱坐標為．

過D作y軸的平行線交AC于E．

∴E點的坐標為．

∴，用h表示點C到線段DE所在直線的距離，

∴

………………………………………………7分

∵-2＜t＜0

∴當t=-1時，△DAC面積最大，此時點D的坐標為（-1，-1）．…………………8分

（3）點H存在．………………………………………………………………………9分

由（1）知，點M的坐標為

解法一：如圖，假設存在點H，滿足

作直線MH交軸于點K(，0)，作MN⊥軸于點N．

∵,

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴點K的坐標為（）……………………………………………………………11分

所以直線MK的解析式為.

∴ 把①代入②，化簡，得：．

＞0． …………………………………12分

∴，．將代入中，解得

∴ 直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．

∴ 拋物線上必存在一點H，使∠AMH＝90?，

此時點H坐標為．…………………………………………………13分

解法二：如圖，過點A作直線,過頂點M作MN⊥AM，MF分別交直線于點N和點F．則 ∠FMN＋∠AMF＝90?．

∵ ∠MAF＋∠AMF＝90?，

∴ ∠MAF＝∠FMN．

又∵ ∠AFM＝∠MFN＝90?，

∴ △AFM∽△MFN．

∴ AF∶MF＝MF∶FN． 即

∴ FN＝．

∴ 點N的坐標為． …………………11分

設過點M，N的直線的解析式為．

將M,N代入得：

解得：

所以直線MN的解析式為

∴ 把①代入②，化簡，得：．

＞0．…………………………………12分

∴，．將代入中，解得

∴ 直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．

∴ 拋物線上必存在一點H，使∠AMH＝90?，

此時點H坐標為．