Question

【題目】如圖，已知E，F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M.則下列結(jié)論：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB.其中正確結(jié)論的有( )

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出AE＝BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，從而求出∠AMD＝90°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得∠AME＝90°，得出①正確；根據(jù)中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯(cuò)誤；設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判斷出③正確；過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，由相似三角形的性質(zhì)得出，解得MN＝a，AN＝a，得出NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根據(jù)勾股定理得BM＝a，求出ME+MF＝+＝a，MB＝a，得出ME+MF＝MB，故④正確.于是得到結(jié)論.

解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，

∵E、F分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，

∴AE＝BF＝BC，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE(SAS)，

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，

∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，

∴∠AMD＝180°﹣(∠ADE+∠DAF)＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，

故①正確；

∵DE是△ABD的中線，

∴∠ADE≠∠EDB，

∴∠BAF≠∠EDB，

故②錯(cuò)誤；

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，則BF＝a，

在Rt△ABF中，，

∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，

∴△AME∽△ABF，

∴，即，

解得：，

∴，

∴，

故③正確；

如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，

則MN∥BC，

∴△AMN∽△AFB，

∴，

即，

解得，，

∴，

根據(jù)勾股定理得：，

∵ME+MF＝+＝a，MB＝a，

∴ME+MF＝MB，

故④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④共3個(gè).

故選：B.