Question

如圖，CD是⊙O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作⊙O的切線PA、PB，切點分別為點A、B．
①當DP=

 

cm時，四邊形AOBD是菱形；
②當DP=

 

cm時，四邊形AOBP是正方形．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),菱形的判定,正方形的判定

專題：

分析：①當四邊形AOBD為菱形時，可知AD=AO，且∠AOP=60°，可求得PO=2AO，則可求得PD，可得出結(jié)論；
②當四邊形AOBP為正方形時，則有PA=OA，再結(jié)合切割線定理可求得PD，可得出答案．

解答： 解：①如果四邊形AOBD為菱形，則有AD=AO=OD=

1

2

CD=1cm，
∴∠AOP=60°，
如圖，連接OA，則OA⊥PA，

∴∠APO=30°，
∴OP=2AO=2cm，
∴PD=OP-OD=1cm，
∴當DP=1cm時，四邊形AOBD為菱形；
②當四邊形AOBP為正方形時，則有PA=AO=1cm，
∵PA為⊙O的切線，
∴PA²=PD•PC，且CD=2cm，
∴1=PD（PD+2），整理可得PD²+2PD-1=0，
解得PD=

2

-1或PD=-

2

-1（舍去），
∴PD=

2

-1（cm），
∴當PD=（

2

-1）cm時，四邊形AOBP為正方形；
故答案為：①1；②（

2

-1）．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及正方形、菱形的性質(zhì)，掌握菱形、正方形的四邊相等是解題的關鍵，解這類問題時，可以把結(jié)論當成條件求尋求這個結(jié)論成立的條件．