Question

已知如圖，對稱軸為直線的拋物線與軸相交于點B、O.

(1）求拋物線的解析式，并求出頂點A的坐標.

(2) 連結AB，平移AB所在的直線，使其經過原點O，得到直線.點是上一動點,當△的周長最小時，求點P的坐標.

（3）當△的周長最小時，在直線AB的上方是否存在一點Q，使以A，B，Q為頂點的三角形與△POB相似，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由.（規(guī)定：點Q的對應頂點不為點O）

 

Answer 1

【答案】

（1），（4，4）(2) （2，-2）(3)存在，點坐標為（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4） 

【解析】（1）∵點B與O（0，0）關于直線x=4對稱,

∴點B坐標為（8，0）.

將點B坐標代入得：

64+16=0,

∴=.

∴拋物線解析式為.               2分

當=4時，,

∴頂點A坐標為（4，4）.                  2分

（說明：可用對稱軸為,求值,用頂點式求頂點A坐標.）

（2）設直線AB解析式為y=kx+b.

∵A(4,4),B(8,0),

∴ 解得,   ∴.-

∵直線∥AB且過點O,

∴直線解析式為.

A關于直線的對稱點是A₁（-4，-4），連接A₁B，則直線A₁B的函數(shù)關系式是

由  得交點P（2，-2）                         4分

 (3)存在，點坐標為（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4）         4分

主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點及圖形面積的求法等重要知識點，同時還考查了分類討論的數(shù)學思想，難度較大