Question

如圖，△ABC是一塊直角三角形的木塊，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一塊面積最大的正方形木塊，問按正方形CDEF加工還是按正方形PQRS加工？說出你的理由．

Answer 1

分析：當正方形兩邊在直角三角形上時，易得△AED∽△ABC，利用對應邊成比例可得正方形的邊長；
當正方形的一邊在直角三角形上時，易得△CSR∽△CAB，利用對應邊的比等于對應高的比可得正方形的邊長，比較即可．

解答：解：

（1）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
設正方形CDEF的邊長為x，則有

x

4

=

3-x

3

，
解得x=

12

7

cm；

（2）∵SR∥AB，
∴△CSR∽△CAB，
設正方形PQRS的邊長為y，作CN⊥NB于N交RS于M，∵

1

2

BC•AC=

1

2

AB•CN，∴CN=

12

5

，
∴

SR

AB

=

CM

CN

∴

12 5 -y

12 5

=

y

5

，
解得y=

60

37

（cm），
x-y=

12

7

-

60

37

=

444-420

7×37

＞0，故x＞y，
所以按正方形CDEF加工，可得面積最大的正方形．

點評：考查相似三角形的應用；用到的知識點為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應邊成比例；對應高的比等于相似比．