Question

如圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，△ABE、△ACF是等邊三角形．
（1）試說明：△ABD∽△CAD；
（2）連接DE、DF、EF，判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有兩對角相等的兩個三角形相似，證明即可；
（2）△DEF為直角三角形，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明∠EAD=∠DCF，由（1）可知

AB

CA

=

AD

CD

，即

AE

CF

=

AD

CD

，所以△AED～△CFD，利用相似三角形的性質(zhì)證明∠EDF=90°即可．

解答：（1）證明：∵在RT△ABC中，AD為高
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ABD～△CAD；                  

（2）△DEF為直角三角形．理由如下：
證明∵△ABE與△ACF為正三角形，
∴∠BAE=∠ACF=60°，
∵∠1=∠3，
∴∠BAE+∠1=∠ACF+∠3，
即∠EAD=∠DCF，
∵△ABD～△CAD，
∴

AB

CA

=

AD

CD

，
即 

AE

CF

=

AD

CD

，
∴△AED～△CFD，
∴∠4=∠5，
∵∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF為直角三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的判定，題目的綜合性不小，難度中等．