【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,將弧BC沿直線BC翻折,使弧BC的中點D恰好與圓心O重合,連接OC,CD,BD,過點C的切線與線段BA的延長線交于點P,連接AD,在PB的另一側(cè)作∠MPB=∠ADC.
(1)判斷PM與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若PC=,求四邊形OCDB的面積.
【答案】(1)PM與⊙O相切,理由見解析;(2).
【解析】
(1)連接DO并延長交PM于E,如圖,利用折疊的性質(zhì)得OC=DC,BO=BD,則可判斷四邊形OBDC為菱形,所以OD⊥BC,△OCD和△OBD都是等邊三角形,從而計算出∠COP=∠EOP=60°,接著證明PM∥BC得到OE⊥PM,所以OE=OP,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PC,則OC=OP,從而可判定PM是⊙O的切線;
(2)先在Rt△OPC中計算出OC=1,然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計算四邊形OCDB的面積.
(1)PM與⊙O相切.
理由如下:連接DO并延長交PM于E,如圖,
∵弧BC沿直線BC翻折,使弧BC的中點D恰好與圓心O重合,
∴OC=DC,BO=BD,
∴OC=DC=BO=BD,
∴四邊形OBDC為菱形,
∴OD⊥BC,
∴△OCD和△OBD都是等邊三角形,
∴∠COD=∠BOD=60°,
∴∠COP=∠EOP=60°,
∵∠MPB=∠ADC,
而∠ADC=∠ABC,
∴∠ABC=∠MPB,
∴PM∥BC,
∴OE⊥PM,
∴OE=OP,
∵PC為⊙O的切線,
∴OC⊥PC,
∴OC=OP,
∴OE=OC,
而OE⊥PC,
∴PM是⊙O的切線;
(2)在Rt△OPC中,OC=PC=,
∴四邊形OCDB的面積=2S△OCD=2××12=.
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【題目】如圖,已知點D在△ABC的邊AB上,且AD=CD,
(1)用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線DE,交BC于點E(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,判斷DE與AC的位置關(guān)系,并寫出證明過程.
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【題目】目前“微信”、“支付寶”、“共享單車”和“網(wǎng)購”給我們的生活帶來了很多便利,初二數(shù)學小組在校內(nèi)對“你最認可的四大新生事物”進行調(diào)查,隨機調(diào)查了m人(每名學生必選一種且只能從這四種中選擇一種)并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)圖中信息求出m= ,n= ;
(2)請你幫助他們將這兩個統(tǒng)計圖補全;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,請估算全校2000名學生中,大約有多少人最認可“微信”這一新生事物?
(4)已知A、B兩位同學都最認可“微信”,C同學最認可“支付寶”D同學最認可“網(wǎng)購”從這四名同學中抽取兩名同學,請你通過樹狀圖或表格,求出這兩位同學最認可的新生事物不一樣的概率.
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【題目】九龍坡區(qū)某社區(qū)開展全民讀書活動,以豐富人們業(yè)余文化生活現(xiàn)計劃籌資30000元用于購買科普書籍和文藝刊物
(1)計劃購買文藝刊物的資金不少于購買科普書籍資金的2倍,那么最少用多少資金購買文藝刊物?
(2)經(jīng)初步了解,有200戶居民自愿參與集資,那么平均每戶需集資150元.經(jīng)籌委會進步宣傳,自愿參加的戶數(shù)在200戶的基礎上增加了a%(其中a>50),如果每戶平均集資在150元的基礎上減少a%,那么實際籌資將比計劃籌資多6000元,求a的值.
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD=16cm,BE=12cm,點P是斜邊AB的中點.有一把直角尺MPN,將它的頂點與點P重合,將此直角尺繞點P旋轉(zhuǎn),與兩條直角邊AC和CB分別交于點D和點E.則線段PD和PE的數(shù)量關(guān)系為_____,線段DE=_____cm.
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【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,BD是AC上的高線.作AE⊥AB于點A,交BD的延長線于點E.取BE的中點M,連結(jié)AM.
(1)求證:△AEM是等邊三角形;
(2)若AE=2,求△AEM的面積.
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【題目】某校初一年級隨機抽取30名學生,對5種活動形式:A、跑步,B、籃球,C、跳繩,D、乒乓球,E、武術(shù),進行了隨機抽樣調(diào)查,每個學生只能選擇一種運動行駛,調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了不完整的統(tǒng)計圖.
(1)將條形圖補充完整;
(2)如果初一年級有900名學生,估計喜愛跳繩運動的有多少人?
(3)某次體育課上,老師在5個一樣的乒乓球上分別寫上A、B、C、D、E,放在不透明的口袋中,每人每次摸出一個球并且只摸一次,然后放回,按照球上的標號參加對應活動,小明和小剛是好朋友,請用樹狀圖或列表法的方法,求他倆恰好是同一種活動形式的概率.
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【題目】如圖,CD是△ABC的高,點D在AB邊上,若AD=16,CD=12,BD=9.
⑴ 求AC,BC的長.
⑵ 判斷△ABC的形狀并加以說明.
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【題目】如圖C是線段BD上一點,分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊△ABC和等邊△CDE,AD交CE于F,BE交AC于G,則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有( )
A.1對B.2對C.3對D.4對
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