Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，AD和BE交于點H，且AE=BE，求證：AH=2BD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：求出∠ADB=∠BEC=∠AEH=90°，∠EAH=∠CBE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BC=2BD，證△AEH≌△BEC，根據(jù)全等得出AH=BC即可．

解答：證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BEC=∠AEH=90°，
∵∠CBE+∠BHD+∠ADB=180°，∠AEH+∠EAH+∠AHE=180°，∠AHE=∠BHD，
∴∠EAH=∠CBE，
在△AEH和△BEC中，

∠AEH=∠BEC AE=BE ∠EAH=∠CBE

，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC，
∵BC=2BD，
∴AH=2BD．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出AH=BC和得出BC=2BD，難度適中．