Question

如圖，點(diǎn)是半圓的半徑上的動(dòng)點(diǎn)，作于．點(diǎn)是半圓上位于左側(cè)的點(diǎn)，連結(jié)交線段于，且．

 

（1）求證：是⊙O的切線．

（2）若⊙O的半徑為，，設(shè)．

①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

②當(dāng)時(shí)，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接DO，根據(jù)垂直的定義可得∠3+∠4=90°，由PD=PE，OD=OB可得∠1=∠2，∠5=∠4，又∠2=∠3可得∠1+∠5=90°，即得∠PDO=90°，從而證得結(jié)論；（2）①y=x²+144；②

【解析】

試題分析：（1）連接DO，根據(jù)垂直的定義可得∠3+∠4=90°，由PD=PE，OD=OB可得∠1=∠2，∠5=∠4，又∠2=∠3可得∠1+∠5=90°，即得∠PDO=90°，從而證得結(jié)論；

（2）①連接PO，在Rt△PDO中PD²=y，DC=4，則PO²=y+（4）²=y+48，在Rt△PCO中OC="x" PC=8，則可得PO²=x²+（8）²=x²+192 ，所以有y+48=x²+192，從而求得結(jié)果；

②當(dāng)x=時(shí)，可得y=147，即可得到PD、PE的長(zhǎng)，由PC=8可得EC的長(zhǎng)，又OC=X=，OB=4可得CB=3，在Rt△BCE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可.

（1）連接DO

 

∵PC⊥BA

∴∠PCB=90°

∴∠3+∠4=90°

又∵PD=PE，OD=OB

∴∠1=∠2，∠5=∠4

又∵∠2=∠3

∴∠1+∠5=90°

∴∠PDO=90°

∴PD⊥OD

∴PD是QO切線；

（2）①連接PO

在Rt△PDO中PD²=y，DC=4

∴PO²=y+（4）²="y+48"

在Rt△PCO中OC=x，PC=8

∴PO²=x²+（8）²=x²+192

∴y+48=x²+192

∴y=x²+144

②當(dāng)x=時(shí)，y=147

∴PD==7

∴PE=PD=7 

∵PC=8

∴EC=8-7=

又∵OC=x=，OB=4

∴CB=3 

在Rt△BCE中，tanB===.

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：圓的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.