(2002•鄂州)已知拋物線y=mx2-2mx+4m-與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1,0),B(x2,0)(xl<x2),且x12+x22=34.
(1)求m,x1,x2的值;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)C,使△ABC是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】分析:(1)本題要根據(jù)韋達(dá)定理來求解,先表示出x1+x2和x1•x2的值,然后代入x12+x22=34中即可求出m的值,進(jìn)而可求出x1,x2的值.
(2)如果△ABC是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形,那么∠CBA=30°,即直線BC的斜率為,據(jù)此可求出直線BC的解析式,然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo),然后判斷AC是否等于BC或AB是否等于BC即可,再利用C點(diǎn)可能在x軸上方,分別求出即可.
解答:解:(1)令y=0,則有:0=mx2-2mx+4m-;
∴x1+x2=8,x1•x2=
∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=64-2×=34
解得m=
∴y=x2-x+5
x2-x+5=0,
解得x1=3,x2=5
(2)假設(shè)存在符合條件的C點(diǎn),那么∠CBA=30°,
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
則k=tan30°=,已知B(5,0)
∴y=x-
聯(lián)立拋物線的解析式有:

解得:
∴存在符合條件的C點(diǎn),坐標(biāo)為(4,-).
如圖所示:
當(dāng)AB=BC′時(shí),過點(diǎn)C′作C′E⊥x軸于點(diǎn)E,
∵∠ABC′=120°,則∠C′BE=60°,
∴∠BC′E=30°,
∴BE=BC′=1,
∴EC′=,
∴C′(6,).
當(dāng)AC″=AB時(shí),C″(2,).
綜上所述:C點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,-),(6,),(2,).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn).
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(1)寫出圖中所有的相似三角形:______;
(2)求證:PA2=BC2+PB•PC.

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