已知梯形ABCD中,∠B+∠C=90°,E,F(xiàn)是兩底中點(diǎn)的連線.求證.
證法 1:如圖所示,延長BA,CD交于G,連接GE,CF.∵∠ B+∠C=90°,∴∠BGC=90°.∵ E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),∴ GE=AE,,GF=BF,,∴∠ AGE=∠GAE,∠BGF=∠B.∵ AD∥BC,∴∠GAE=∠B.∴ AGE=∠BGF,∴GE,GF重合.∴ .證法 2:如圖所示,過點(diǎn)E作EM∥AB,交BC于M,作EN∥DC,交BC于N.∴∠ 1=∠B,∠2=∠C.∵∠ B+∠C=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠MEN=90°.∵ AD∥BC,∴BM=AE,CN=ED.∵ E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),∴ BM=AE=ED=CN,BF=FC,∴MF=FN.∴ .證法 3:如圖所示,過D作DM∥AB交于BC于M,取MC中點(diǎn)N,連接DN,則∠DMC=∠B.∵ AD∥BC,∴BM=AD,∴CM=BC-BM=BC-AD.∵∠ B+∠C=90°,∴∠DMC+∠C=90°,∴∠ MDC=90°,∴.∵ F,N分別為BC,MC中點(diǎn),∴ .∴四邊形 EFND是平行四邊形.∴ . |
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