【題目】如圖,直角梯形ABCO的兩邊OA,OC在坐標(biāo)軸的正半軸上,BC∥x軸,OA=OC=4,以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線過A,B,C三點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)已知直線l的解析式為y=x+m,它與x軸交于點(diǎn)G,在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P.
①當(dāng)m=0時(shí),如圖1,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn),過點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H,連結(jié)OP,試求△OPH的面積;
②當(dāng)m=﹣3時(shí),過點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線,垂足為點(diǎn)E,F(xiàn).是否存在這樣的點(diǎn)P,使以P,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:由題意得:A(4,0),C(0,4),對(duì)稱軸為x=1.
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,則有:
,
解得 .
∴拋物線的函數(shù)解析式為:y=﹣ x2+x+4
(2)
解:①當(dāng)m=0時(shí),直線l:y=x.
∵拋物線對(duì)稱軸為x=1,
∴CP=1.
如答圖1,延長(zhǎng)HP交y軸于點(diǎn)M,則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形.
∴CM=CP=1,
∴OM=OC+CM=5.
S△OPH=S△OMH﹣S△OMP= ( OM)2﹣ OMCP= ×( ×5)2﹣ ×5×1= ﹣ = ,
∴S△OPH= .
②當(dāng)m=﹣3時(shí),直線l:y=x﹣3.
設(shè)直線l與x軸、y軸交于點(diǎn)G、點(diǎn)D,則G(3,0),D(0,﹣3).
假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P.
(i)當(dāng)點(diǎn)P在OC邊上時(shí),如答圖2﹣1所示,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合.
設(shè)PE=a(0<a≤4),
則PD=3+a,PF= PD= (3+a).
過點(diǎn)F作FN⊥y軸于點(diǎn)N,則FN=PN= PF,∴EN=|PN﹣PE|=| PF﹣PE|.
在Rt△EFN中,由勾股定理得:EF= = .
若PE=PF,則:a= (3+a),解得a=3( +1)>4,故此種情形不存在;
若PF=EF,則:PF= ,整理得PE= PF,即a=3+a,不成立,故此種情形不存在;
若PE=EF,則:PE= ,整理得PF= PE,即 (3+a)= a,解得a=3.
∴P1(0,3).
(ii)當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),如答圖2﹣2所示,此時(shí)PE=4.
若PE=PF,則點(diǎn)P為∠OGD的角平分線與BC的交點(diǎn),有GE=GF,過點(diǎn)F分別作FH⊥PE于點(diǎn)H,F(xiàn)K⊥x軸于點(diǎn)K,
∵∠OGD=135°,
∴∠EPF=45°,即△PHF為等腰直角三角形,
設(shè)GE=GF=t,則GK=FK=EH= t,
∴PH=HF=EK=EG+GK=t+ t,
∴PE=PH+EH=t+ t+ t=4,
解得t=4 ﹣4,
則OE=3﹣t=7﹣4 ,
∴P2(7﹣4 ,4)
(iii)∵A(4,0),B(2,4),
∴可求得直線AB解析式為:y=﹣2x+8;
聯(lián)立y=﹣2x+8與y=x﹣3,解得x= ,y= .
設(shè)直線BA與直線l交于點(diǎn)K,則K( , ).
當(dāng)點(diǎn)P在線段BK上時(shí),如答圖2﹣3所示.
設(shè)P(a,8﹣2a)(2≤a≤ ),則Q(a,a﹣3),
∴PE=8﹣2a,PQ=11﹣3a,
∴PF= (11﹣3a).
與(i)同理,可求得:EF= .
若PE=PF,則8﹣2a= (11﹣3a),解得a=1﹣2 <0,故此種情形不存在;
若PF=EF,則PF= ,整理得PE= PF,即8﹣2a= (11﹣3a),解得a=3,符合條件,此時(shí)P3(3,2);
若PE=EF,則PE= ,整理得PF= PE,即 (11﹣3a)= (8﹣2a),解得a=5> ,故此種情形不存在.
(iv)當(dāng)點(diǎn)P在線段KA上時(shí),如答圖2﹣4所示.
∵PE、PF夾角為135°,
∴只可能是PE=PF成立.
∴點(diǎn)P在∠KGA的平分線上.
設(shè)此角平分線與y軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥直線l于點(diǎn)N,則OM=MN,MD= MN,
由OD=OM+MD=3,可求得M(0,3﹣3 ).
又因?yàn)镚(3,0),
可求得直線MG的解析式為:y=( ﹣1)x+3﹣3 .
聯(lián)立直線MG:y=( ﹣1)x+3﹣3 與直線AB:y=﹣2x+8,
可求得:P4(1+2 ,6﹣4 ).
(v)當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上時(shí),此時(shí)PE=0,等腰三角形不存在.
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)P坐標(biāo)為:(0,3)、(3,2)、(7﹣4 ,4)、(1+2 ,6﹣4 ).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)①如答圖1,作輔助線,利用關(guān)系式S△OPH=S△OMH﹣S△OMP求解;②本問涉及復(fù)雜的分類討論,如答圖2所示.由于點(diǎn)P可能在OC、BC、BK、AK、OA上,而等腰三角形本身又有三種情形,故討論與計(jì)算的過程比較復(fù)雜,需要耐心細(xì)致、考慮全面.
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【題目】如圖,PB切⊙O于點(diǎn)B,聯(lián)結(jié)PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BA⊥PE交⊙O于點(diǎn)A,聯(lián)結(jié)AP,AE.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)如果OD=3,tan∠AEP= ,求⊙O的半徑.
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(1)求證:無(wú)論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,當(dāng)m=3時(shí),求的值.
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【題目】如圖,在□ABCD中,E是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)CB到點(diǎn)F,使,連接BE、AF.
(1)完成畫圖并證明四邊形AFBE是平行四邊形;
(2)若AB=6,AD=8,∠C=60°,求BE的長(zhǎng).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y= 的圖象在第二象限交于點(diǎn)C,CE⊥x軸,垂足為點(diǎn)E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)D是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點(diǎn),過點(diǎn)D作DF⊥y軸,垂足為點(diǎn)F,連接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO , 求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知直線AB的函數(shù)解析式為y=2x+10,與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B.
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P(a,b)為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作PE⊥y軸于點(diǎn)E,PF⊥x軸于點(diǎn)F,連接EF,問:
①若△PBO的面積為S,求S關(guān)于a的函數(shù)解析式;
②是否存在點(diǎn)P,使EF的值最?若存在,求出EF的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,△ABC是等腰直角三角形,延長(zhǎng)BC至E使BE=BA,過點(diǎn)B作BD⊥AE于點(diǎn)D,BD與AC交于點(diǎn)F,連接EF.
(1)求證:BF=2AD;
(2)若CE=,求AC的長(zhǎng).
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【題目】下列說法正確的有_______________(請(qǐng)?zhí)顚懰姓_結(jié)論的序號(hào))
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