Question

（2012•泰興市一模）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B重合），連接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形；
（2）若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若BC的長(zhǎng)可以變化，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在并直接寫出當(dāng)BC的長(zhǎng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

Answer 1

【答案】分析：1、過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當(dāng)AP=AD時(shí)，x=AP=AD，②當(dāng)AD=PD時(shí)，有AH=PH，故x=AH+PH，③當(dāng)AP=PD時(shí)，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
2、易證：△DPH∽△PEB?，即，故可求得y與x的關(guān)系式．
3、利用△DPH∽△PEB，得出=，進(jìn)而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．
解答：解：（1）過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情況①：當(dāng)AP=AD時(shí)，即x=2．
情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH=PH．
∴2=x-2，解得x=4．
情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，
則Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形．

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，
∴．
整理得：y=（x-2）（8-x）=-x²+x-4．

（3）存在．
設(shè)BC=a，則由（2）得△DPH∽△PEB，
∴=，
∴y=，
當(dāng)y=a時(shí)，
（8-x）（x-2）=a²
x²-10x+（16+a²）=0，
∴△=100-4（16+a²），
∵△≥0，
∴100-64-4a²≥0，
4a²≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴滿足0＜BC≤3時(shí)，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過(guò)C．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了梯形和矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的根的判別式求解．