Question

正整數(shù)a，b，c是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，并且a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形有（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：先將a+bc+b+ca=24 可以化為 （a+b）（c+1）=24，然后根據(jù)24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合討論是否符合題意即可得出答案．
解答：解：a+bc+b+ca=24 可以化為 （a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整數(shù)，并且其中兩個(gè)數(shù)相等，
令a+b=A，c+1=C 則A，C為大于2的正整數(shù)，
那么24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，
①、A=2，C=12時(shí)，c=11，a+b=2，無(wú)法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；
②、A=3，C=8時(shí)，c=7，a+b=3，無(wú)法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；
③、A=4，C=6時(shí)，c=5，a+b=4，無(wú)法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；
④、A=6，C=4時(shí)，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以組成等腰三角形；
⑤、A=8，C=3時(shí)，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以組成等腰三角形，a=b=4是兩個(gè)腰；
⑥、A=12，C=2時(shí)，可得 a=b=6，c=1，可以組成等腰三角形，a=b=6是兩個(gè)腰．
∴一共有3個(gè)這樣的三角形．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)的整除性及等腰三角形的知識(shí)，難度一般，在解答本題時(shí)將原式化為因式相乘的形式及將24分解為大于等于2的兩個(gè)正整數(shù)的乘積有幾種組合是關(guān)鍵．