Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達(dá)點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點B時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時，AP=

1

，點Q到AC的距離是

8

5

；
（2）在點P從C向A運動的過程中，將△APQ的面積S用關(guān)于t的代數(shù)式來表示；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t所有可能的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得CP=2，則可得AP=1，過點Q作QF⊥AC與F，則可得QF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，易得AQ：AB=QF：BC，又由勾股定理求得BC的長，即可求得QF的長，即點Q到AC的距離；
（2）過點Q作QF⊥AC于點F，AQ=CP=t，即可得AP=3-t，QF∥BC，可得△AQF∽△ABC，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得QF的長，繼而求得△APQ的面積；
（3）分別從當(dāng)DE∥QB時與當(dāng)PQ∥BC時，去分析求解，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）如圖1：過點Q作QF⊥AC于F，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴QF∥BC，BC=

AB2-AC2

=4，
∴AQ：AB=QF：BC，
∵t=2，
∴AQ=2，CP=2，
∴AP=AC-CP=3-2=1，
∴2：5=QF：4，
∴QF=

8

5

，
故答案為：1，

8

5

；

（2）如圖2，過點Q作QF⊥AC于點F，AQ=CP=t，
∴AP=3-t，QF∥BC，
∴△AQF∽△ABC，
∴

QF

BC

=

AQ

AB

，
即

QF

4

=

t

5

，
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

AP•QF=

1

2

×（3-t）×

4

5

t=-

2

5

t²+

6

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t；

（3）能．
①當(dāng)DE∥QB時，如圖3．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠AQP=90°．
∴∠AQP=∠C=90°，∠A是公共角，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

． 
解得：t=

9

8

；
②如圖4，當(dāng)PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

． 
解得：t=

15

8

．
綜上所述，當(dāng)t=

9

8

或

15

8

時，四邊形QBED是直角梯形．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及直角梯形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．