Question

（2012•東城區(qū)二模）閱讀并回答問題：
小亮是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創(chuàng)新的同學．一天他在解方程x²=-1時，突發(fā)奇想：x²=-1在實數范圍內無解，如果存在一個數i，使 i²=-1，那么當x²=-1時，有x=±i，從而x=±i是方程x²=-1的兩個根．
據此可知：（1）i可以運算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，則i⁴=

1

，i²⁰¹¹=

-i

，i²⁰¹²=

1

；
（2）方程x²-2x+2=0的兩根為

1+i或1-i

（根用i表示）．

Answer 1

分析：（1）根據 i²=-1可將i⁴化為i²•i²；i²⁰¹¹=（i²）¹⁰⁰⁵•i；i²⁰¹²=（i²）¹⁰⁰⁶•i進行計算即可；
（2）先根據-1=i²求出△的值，再由公式法求出x的值即可．

解答：解：（1）∵i²=-1，
∴i⁴=i²•i²=（-1）×（-1）=1；
i²⁰¹¹=（i²）¹⁰⁰⁵•i=（-1）¹⁰⁰⁵•i=-i；
i²⁰¹²=（i²）¹⁰⁰⁶•i=（-1）¹⁰⁰⁶•i=i．
故答案為：1，-i，1．

（2）∵△=（-2）²-4×1×2=-4，i²=-1，
∴△=4i²，
∴方程x²-2x+2=0的兩根為x=

2±2i

2×1

=1±i，即x=1+i或x=1-i．
故答案為：1+i或1-i．

點評：本題考查的是用公式法求一元二次方程的根，先根據題中所給的材料記住i²=-1是解答此題的關鍵．