Question

如圖，在?ABCD中，MN分別是AB、CD的中點，BD分別交AN、CM于點P、Q，在結(jié)論：①DP=PQ=QB；②AP=CQ；③CQ=2MQ；④S_△ADP=

1

4

S_?ABCD中，正確的個數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點，易證△ADN≌△CBM，AN∥CM，根據(jù)M是AB的中點，因而BQ=PQ，同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB；同理易證△APD≌△CBQ，則AP=CQ；根據(jù)AB∥CD，△BMQ∽△DCQ，

MQ

CQ

=

BM

CD

=2，CQ=2MQ；根據(jù)DP=PQ=QB，AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3，因而S_△ADP=

1

6

S_{平行四邊形ABCD}．

解答：解：平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AB、CD的中點，
∴DN=MB，∠MBC=∠NDA，AD=BC，
∵在△ADN和△CBM中

DN=MB ∠NDA=∠MBC AD=BC

∴△ADN≌△CBM（SAS），
∴∠DNA=CMB，
∵AB∥CD，
∴∠DNA=∠NAM，
∴∠NAM=∠CMB，
∴AN∥CM，
∵M是AB的中點，
∴BQ=PQ，
同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB，故①正確，
∵在△ADP和△CBQ中，

AD=BC ∠ADP=∠CBQ DP=BQ

，
∴△ADP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，故②正確；
∵AB∥CD，
∴△BMQ∽△DCQ，
∴

MQ

CQ

=

BM

CD

=2，
∴CQ=2MQ，故③正確；
∵DP=PQ=QB，
∴AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3，
∴S_△ADP=

1

6

S_{平行四邊形ABCD}，
∴正確結(jié)論的個數(shù)為：①②③3個．
故選：C．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理的推論、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計算，得出全等三角形△ADN≌△CBM是解題關(guān)鍵．