Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），與x軸交于點(diǎn)A，B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

（1）求該拋物線的解析式．

（2）若點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．

（3）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且△OMD為等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）首先求出△PCE面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；

（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論．

解答：解：（1）把點(diǎn)C（0，﹣4），B（2，0）分別代入y=x²+bx+c中，

得，

解得

∴該拋物線的解析式為y=x²+x﹣4．

（2）令y=0，即x²+x﹣4=0，解得x₁=﹣4，x₂=2，

∴A（﹣4，0），S_△ABC=AB•OC=12．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△ABC，

∴，即，

化簡(jiǎn)得：S_△PBE=（2﹣x）²．

S_△PCE=S_△PCB﹣S_△PBE=PB•OC﹣S_△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）²

=x2﹣x+

=（x+1）²+3

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，S_△PCE的最大值為3．

（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：（I）當(dāng)DM=DO時(shí)，如答圖①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；

（II）當(dāng)MD=MO時(shí)，如答圖②所示．

過點(diǎn)M作MN⊥OD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OD的中點(diǎn)，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）；

（III）當(dāng)OD=OM時(shí)，

∵△OAC為等腰直角三角形，

∴點(diǎn)O到AC的距離為×4=，即AC上的點(diǎn)與點(diǎn)O之間的最小距離為．

∵＞2，∴OD=OM的情況不存在．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．第（2）問將面積的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的極值問題，注意其中求面積表達(dá)式的方法；第（3）問重在考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意三種可能的情形需要一一分析，不能遺漏．