Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，OB=3，tan∠OAB=，將∠OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C，
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得以A、B、Q為頂點(diǎn)并且以AB為直角邊的直角三角形，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求拋物線的解析式，需用待定系數(shù)法，那么就必須首先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；已知OB的長，在Rt△AOB中，根據(jù)∠OAB的正切值即可得到OA的長，則A、B點(diǎn)的坐標(biāo)可得；連接CH，根據(jù)題意不難看出點(diǎn)O、H關(guān)于直線BC對(duì)稱，所以O(shè)C=CH、BH=BO，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后用其橫坐標(biāo)表達(dá)出OC、CH、AH的長，在Rt△ACH中，根據(jù)勾股定理即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；所有條件已求得，則題目可解．
（2）將（1）的拋物線解析式寫成頂點(diǎn)式，則點(diǎn)D的坐標(biāo)可得；若四邊形ADAP是符合條件的平行四邊形，根據(jù)圖示可以看出，只有OA作對(duì)角線，那么P、D關(guān)于線段OA的中點(diǎn)對(duì)稱，可據(jù)此先得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入直線BC的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證．
（3）AB為Rt△ABQ的直角邊，那么點(diǎn)B或點(diǎn)A應(yīng)為直角三角形的直角頂點(diǎn)，即直線BQ（或直線AQ）、直線AB的斜率乘積為-1，首先求出直線AB的解析式，在確定出直線BQ（或直線AQ）的斜率后，代入點(diǎn)B（點(diǎn)A）的坐標(biāo)，求出直線BQ（或直線AQ）的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵在Rt△BOA中，OB=3，tan∠OAB=，
∴OA=4，AB=5，
∴A（4，0），B（0，3）
設(shè)C（m，0），連接CH，如圖，由對(duì)稱性知，CH=OC=m，BH=BO=3，∠BHC=∠BOC=90°，
∴AH=AB-BH=2，AC=4-m，
∴在Rt△CHA中，由CH²+AH²=AC²，即 m²+2²=（4-m）²，得：m=，
∴C（，0）
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=a（x-）（x-4），將x=0，y=3代入拋物線的解析式，得 a=，
∴y=（x-）（x-4）=x²-x+3，
即過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=x²-x+3．

（2）y=x²-x+3=（x-）²-，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，-），
由B（0，3），C（，0）可求得直線BC的解析式：y=-2x+3．
由圖示知，若點(diǎn)P在直線BC上，且四邊形OPAD是平行四邊形，只有OPAD一種情況，此時(shí)D、P關(guān)于線段OA的中點(diǎn)對(duì)稱；
由A（4，0）知，OA的中點(diǎn)（2，0），則P（，）；
當(dāng)x=時(shí)，y=-2x+3=-2×+3=≠，所以點(diǎn)P不在直線BC上，與題意不合；
∴直線BC上不存在符合題意的點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形．

（3）由A（4，0）、B（0，3）可得，直線AB：y=-x+3；
取直線l⊥AB，則 k_l•k_AB=-1，即 k_l=，可設(shè)直線l：y=x+b；
①當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，直線l與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q；
將B（0，3）代入y=x+b中，得：b=3，
即直線l：y=x+3，聯(lián)立拋物線的解析式，得：
，解得、
∴Q₁（，）；
②當(dāng)直線l過點(diǎn)A時(shí)，直線l與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q；
同①可求得：Q₂（，）；
綜上，得：Q₁（，）、Q₂（，）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)和判定、直角三角形的判定、垂直直線間的斜率關(guān)系等綜合知識(shí)；（2）題中，根據(jù)圖示先確定點(diǎn)P的位置可以大大的減少計(jì)算量；（3）題中，以AB為直角邊包括了A、B分別為直角頂點(diǎn)兩種情況，應(yīng)分類進(jìn)行討論．