Question

如圖，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2

3

，點(diǎn)D在BC邊上，把△ABC沿AD翻折使AB與AC重合，得△AB′D，則△ABC與△AB′D重疊部分的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：

分析：首先過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB′于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2

3

，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得AC的長(zhǎng)，又由折疊的性質(zhì)，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′-AC=2

3

-2，繼而求得CD與B′D的長(zhǎng)，然后求得高DE的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB′于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，
∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2

3

，
∴AC=BC，
∴AF=

1

2

AB=

3

，
∴AC=

AF

cos∠CAB

=

3

3 2

=2，
由折疊的性質(zhì)得：AB′=AB=2

3

，∠B′=∠B=30°，
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，
∴∠CDB′=90°，
∵B′C=AB′-AC=2

3

-2，
∴CD=

1

2

B′C=

3

-1，B′D=B′C•cos∠B′=（2

3

-2）×

3

2

=3-

3

，
∴DE=

CD•B′D

B′C

=

( 3 -1)(3- 3 )

2 3 -2

=

3- 3

2

，
∴S_陰影=

1

2

AC•DE=

1

2

×2×

3- 3

2

=

3- 3

2

．
故答案為：

3- 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．