Question

如圖，在梯形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別為BM、CM的中點。

（1）求證：四邊形MENF是平行四邊形；

（2）當梯形ABCD滿足什么條件時，四邊形MENF是菱形？

（3）若四邊形MENF的面積是梯形ABCD面積的，問AD、BC滿足什么關(guān)系？

Answer 1

（1）證明：∵N為BC的中點，E、F分別為BM、CM的E中點，

∴NE∥MC，且NE=MC=MF,

∴四邊形MENF是平行四邊形；---3分

（2）若四邊形MENF是菱形，則ME=MF,即MB=MC，則∠MBC=∠MCB，

     ∵AD∥BC,

     ∴∠AMB=∠MBC, ∠DMC=∠MCB,

∴∠AMB=∠DMC,

又∵M為AD的中點，

∴AM=DM,

由可得△AMB≌△DMC，

∴AB=DC.

即：當梯形ABCD是等腰梯形時，四邊形MENF是菱形； ---3分

（3）∵NE,NF為△MBC的中位線，

∴,

要使，即，

∴，而，

設(shè)AD與BC之間的距離為，

則 ，

即,得.

∴當時，四邊形MENF的面積是梯形ABCD面積的。---4分