Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，點M從A點開始，沿AD邊向D運動，速度為1厘米/秒，點N從點C開始沿CB邊向點B運動，速度為2厘米/秒，設四邊形MNCD的面積為S．
（1）寫出面積S與時間t之間的函數(shù)關系式；
（2）當t為何值時，四邊形MNCD是平行四邊形？
（3）當t為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得：AM=tcm，CN=2tcm，則MD=AD-AM=15-t（cm），
∴S=（MD+CN）•AD=×（15-t+2t）×14=7t+105（cm²）；
∴面積S與時間t之間的函數(shù)關系式為：S=7t+105；

（2）∵點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s，
∴MD=AD-AM=15-t，CN=2t，
四邊形MNCD是平行四邊形時，MD=CN，
∴15-t=2t，
解得t=5；
∴當t=5時，四邊形MNCD是平行四邊形；

（3）如圖，過點D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD=15cm，
∴CE=BC-BE=21-15=6cm，
四邊形MNCD是等腰梯形時，CN=2CE+MD，
∴2t=2×6+15-t，
解得t=9．
∴當t=9時，四邊形MNCD是等腰梯形．
分析：（1）用t表示出AM、BN，然后根據(jù)梯形的面積公式求解即可求得答案；
（2）用t表示出MD、CN，然后根據(jù)平行四邊形對邊相等可得MD=CN，然后計算即可得解；
（3）過點D作DE⊥BC于E，然后判斷出四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等求出BE，再求出CE，然后表示出MD，再根據(jù)等腰梯形的性質，四邊形MNCD為等腰梯形時，CN=2CE+MD，列出方程求解即可．
點評：本題考查了梯形，平行四邊形的性質，直角梯形的性質，等腰梯形的性質，熟練掌握各圖形的性質，分別列出關于t的方程是解題的關鍵．