Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=S_△ABC；④BE+CF=EF．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合）上述結(jié)論始終正確的結(jié)論個數(shù)為________．

Answer 1

3
分析：利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷．
解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF，故①小題正確；
PE=PF，∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②小題正確；
S_{四邊形AEPF}=S_△ABC，故③小題正確；
∵AE=CF（已證），
∴BE=AF，
∴BE+CF=AE+AF，
在△AEF中，AE+EF＞EF，
∴④小題錯誤．
綜上所述，正確的選項有①②③共3個．
故答案為：3．
點評：此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，綜合利用了全等三角形的判定．