Question

已知：在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=10，DC=13，tanA=

3

4

．
（1）求AB的長；
（2）設(shè)點(diǎn)E是線段AB上的點(diǎn)，當(dāng)BE等于多少時(shí)，△AED與△BCE相似？

Answer 1

分析：（1）作輔助線DF⊥AB，CH⊥AB垂足分別為F、G，利用三角函數(shù)以及勾股定理求出DF，AF，AB的值．
（2）證明△ADE∽△BCE（

AD

BC

=

AE

BE

得出BE=

1

2

AB），再證明△ADE∽△BEC得出BE（AB-BE）=AD•BC，求出BE．

解答：解：（1）作DF⊥AB，CH⊥AB垂足分別為F、G．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AF=BH，F(xiàn)H=DC=13．
在Rt△ADF中，tanA=

DF

AF

=

3

4

，
設(shè)DF=3x，則AF=4x，
由勾股定理AF²+DF²=AD²
∴（4x）²+（3x）²=10²解得：x=2，
∴AF=BH=8．
∴AB=8+13+8=29．

（2）∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠B．
當(dāng)

AD

BC

=

AE

BE

時(shí)，△ADE∽△BCE，此時(shí)

AD

BC

=

AE

BE

=1，
∴BE=

1

2

AB=

29

2

．
當(dāng)

AD

BE

=

AE

BC

時(shí)，△ADE∽△BEC，
此時(shí)BE（AB-BE）=AD•BC．
∴BE（29-BE）=10×10．
解得：BE=4或BE=25．
∴當(dāng)BE=4或

29

2

或25，△AED與△BCE相似．

點(diǎn)評：本題考查的等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定定理以及勾股定理的理解及運(yùn)用．