Question

（2010•上海）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（4，0）、B（1，3）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）記該拋物線的對(duì)稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（m，n）在第四象限，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；將所求得的二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到其對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到F點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求出PF的長(zhǎng)，即可判斷出四邊形OAPF的形狀，然后根據(jù)其面積求出n的值，再代入拋物線的解析式中即可求出m的值．
解答：解：（1）將A（4，0）、B（1，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程得：，
解之得：b=4，c=0；
所以拋物線的表達(dá)式為：y=-x²+4x，
將拋物線的表達(dá)式配方得：y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
所以對(duì)稱軸直線為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；

（2）點(diǎn)P（m，n）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)E（4-m，n），
則點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F坐標(biāo)為（m-4，n），
則FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，
所以四邊形OAPF是平行四邊形；
S=OA•|n|=20，即|n|=5；
因?yàn)辄c(diǎn)P為第四象限的點(diǎn)，
所以n＜0，
所以n=-5；
代入拋物線方程得m=-1（舍去）或m=5，
故m=5，n=-5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及圖形面積的求法，難度適中．