在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的動點(diǎn)(不與A、B重合),過M作MN//BC交AC于點(diǎn)N,以MN為直徑作⊙O,設(shè)AM=x
(1)用含x的代數(shù)式表示△AMN的面積S;
(2)M在AB上運(yùn)動,當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)(如圖①),求x的值;
(3)M在AB上運(yùn)動,當(dāng)⊙O與BC相交時(shí)(如圖②),在⊙O上取一點(diǎn)P,使PM//AC,連接PN,PM交BC于E,PN交BC于點(diǎn)F,設(shè)梯形MNFE的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。
解:(1)∵M(jìn)N//BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC
∴,即,∴
∵AM⊥AN,∴
(2)設(shè)BC與⊙O相切于點(diǎn)D,連接AO、OD,
則AO=OD=MN
在Rt△ABC中,
又∵△AMN∽△ABC,
∴,即,∴,∴
過M作MQ⊥BC于Q,則
則△BMQ∽△ABC,
∴,∴
∵
∴
(3)∵∠A=90°,PM//AC,∠MPN=90°
∴四邊形AMPN是矩形…………………(7分)
∴PN=AM=x
又∵四邊形BFNM是平行四邊形,
∴FN=BM=8-x,PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8…(8分)
又Rt△PEF∽Rt△ABC,∴,
∴
∵
∴………(10分)
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