Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．
（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；
（2）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，設⊙O的半徑為r，可證出△BOD∽△BAC，則=，從而求得r；
（2）由四邊形BDEF是平行四邊形，得∠DEF=∠B，再由圓周角定理可得，∠B=∠DOB，則△ODE是等邊三角形，先得出四邊形OFDE是平行四邊形．再根據OE=OF，則平行四邊形OFDE是菱形．
解答：解：（1）連接OD．設⊙O的半徑為r．
∵BC切⊙O于點D，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴=，即10r=6（10-r）．
解得r=，
∴⊙O的半徑為．

（2）四邊形OFDE是菱形．理由如下：
∵四邊形BDEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠B．
∵∠DEF=∠DOB，
∴∠B=∠DOB．
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°．
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°．
∵OD=OE．
∴OD=DE．
∵OD=OF，
∴DE=OF．
又∵DE∥OF，
∴四邊形OFDE是平行四邊形．
∵OE=OF，
∴平行四邊形OFDE是菱形．
點評：本題考查了切線的性質、勾股定理、圓周角定理、平行四邊形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，是一個綜合題，難度中等．