Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且x₁＜x₂，與y軸交于點C（0，-4），其中x₁，x₂是方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）求A、B兩點坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點M是線段AB上的一個動點（不與A、B兩點重合），過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，在M點運動時，△CMN的面積是否存在最大值？若存在，求出△CMN面積最大時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過解方程能求出兩根，再根據題干給出的大小關系確定A、B點的坐標．
（2）已知A、B、C三點坐標，利用待定系數法即可確定該函數的解析式．
（3）首先設點M的坐標，然后表示出AM的長；已知MN∥BC，利用相似三角形△AMN、△ABC求出△AMN的面積表達式；以AM為底、OC為高易得△ACM的面積，△ACM、△AMN的面積差即為△MNC的面積，再根據所得函數的性質來判斷△MNC是否具有最大面積．

解答：解：（1）∵x²-4x-12=0，
∴x₁=-2，x₂=6．
即：A（-2，0），B（6，0）．

（2）∵拋物線過點A、B、C，
∴設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），將點C的坐標代入，得：
-4=a（0+2）（0-6），
解得a=

1

3

．
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

4

3

x-4．

（3）存在．
設點M的坐標為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H
∵點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（6，0），
∴AB=8，AM=m+2．
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴

NH

CO

=

AM

AB

，∴

NH

4

=

m+2

8

，
∴NH=

m+2

2

∴S_△CMN
=S_△ACM-S_△AMN
=

1

2

•AM•CO-

1

2

•AM•NH
=

1

2

（m+2）（4-

m+2

2

）
=-

1

4

m²+m+3
=-

1

4

（m-2）²+4．
∴當m=2時，S_△CMN有最大值4．
此時，點M的坐標為（2，0）．

點評：本題主要考查的知識點有：利用待定系數法求二次函數解析式的方法、圖形面積的解法、相似三角形的性質等；在求解圖形面積問題時，通�？梢韵日页雠c所求相關的規(guī)則圖形，然后利用圖形面積間的和差關系來找出突破口．